管网恒定流水力计算的最优化方法

楼主^#

更多发布于：2005-05-31 15:21

程伟平包志仁
浙江大学土木系
摘要：本文把求解管网恒定流转化为无约束优化问题，通过对目标函数的分析，给出了管网恒定流解的唯一性的证明.在此基础上，提出了建立虚节点求解多水源管网的方法.算例表明此方法不失为一条管网平差计算新的有效途径.
关键词：管网恒定流；管网平差；优化模型
作者简介：程伟平(1975-)，男，湖南醴陵人，浙江大学硕士研究生.
　　给水管网的计算理论经过几十年的发展，求解管网恒定流方程基本上归结为：求解环回路的校正流量方程“环路法”，求解节点压力方程的“节点法”和求解管段流量的“管段法”. 近年来学者提出了从物理概念出发寻求修正值的可行方向及步长求解给水管网恒定流方程的特征线法[1].
1 给水管网基本方程
　　给水管网从物理特性出发必须满足三组基本方程[3，5]：即质量守恒方程；物理关系方程(水头损失方程)；能量守恒方程.在实际计算中将配水系统与用户系统简化为节点流量.
　　(1)质量守恒方程
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="84%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1501.jpg"></TD>
<TD width="16%">
(1)</TD></TR></TABLE>
　　(2)能量守恒方程
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="84%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1502.jpg"></TD>
<TD width="16%">
(2)</TD></TR></TABLE>
　　(3)物理关系方程
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="83%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1503.jpg"></TD>
<TD width="17%">
(3)</TD></TR></TABLE>
式中：qi,j——管段流量；hi,j——管段水头损失；Qi——节点流量，i=1,2,…,n;Ωi——与节点i关联的节点集合；Λi——环i的管段集合；si,j——管段摩阻，当节点i与节点j不相关联si,j→∞；α——指数.
2 管网恒定流水力计算的优化模型
　　将方程(3)代入方程(1)，质量守恒方程组可表示为
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="81%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1504.jpg"></TD>
<TD width="19%">
(4)</TD></TR></TABLE>
　　如将方程组看作一组向量，向量值等于0，那么可以认为这组向量是某一函数的梯度，其梯度值等于0，即方程组的解可能是某一无约束优化问题的最优解，因此构造一目标函数F(H)
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="83%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1505.jpg"></TD>
<TD width="17%">
(5)</TD></TR></TABLE>
或表示为
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="82%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1506.jpg"></TD>
<TD width="18%">
(6)</TD></TR></TABLE>
F(H)的一阶偏导数表示为
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="100%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-1.jpg"></TD></TR></TABLE>
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="100%">
　　易知<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-2.jpg" align=middle border=0>F(H)=0即为方程(4)，可见求解管网恒定流方程可转化为无约束优化问题的寻优过程.
　　而F(H)的Hesse阵可表示为
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-3.jpg">
其中
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-4.jpg"></TD></TR></TABLE>
　　易知F(H)的Hesse阵为对称的主对角占优矩阵.
　　当F(H)中有sn-1个节点压力为常数，不妨记其下标为1～sn-1，F(H)剩下未知节点的Hesse阵可表示为
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="100%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-5.jpg"></TD></TR></TABLE>
　　当F(H)是一严格凸函数时，管网节点方程存在唯一解.但是由于F(H)的Hesse阵在hi-hj=0存在奇点，因此需要将其分区域证明F(H)是一严格凸函数.
　　定理1：当管网中至少有一个节点压力为常数时，F(H)在S=｛H‖hi-hj｜＞δ(δ＞0),H ∈Rn｝内是严格凸函数.
　　证明：显然有ai,i＞0，ai,j＜0.(j≠i)一般有ai,i≥<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>-ai,j，当管网中至少有一节点的压力为已知固定值时，与节点压力为已知固定值的节点关联节点的行向量的各分量相加大于0，即ai,i＞<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>-ai,j.任取Hesse阵的特征值λ(λ依赖于H)，相应的特征向量X=(xsn,xsn+1,……,xn)，记s=max(｜xsn｜,｜xsn+1｜,……,｜xn｜) ，其中s所对应的特征向量的分量的下标记为i，取Hesse阵的第i个行向量Pi，PiX= λxi，即ai,ixi+<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>ai,jxj=λxi.
　　因为<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-7.jpg" align=middle border=0>所以λ≥0.?
　　若λ=0，则<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>-(ai,j/ai,i)(xj/xi)=1，因为<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>-ai,j≤ai,i，所以必有xsn=xsn+1=…=xi=…=xn,将特征向量与节点压力固定点关联的节点的行向量相乘有1+<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>(ai,j/ai,i)=0，又因为<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-6.jpg" align=middle border=0>-(ai,j/ai,i)<1(由前文知)，矛盾.所以λ≠0.
　　F(H)的Hesse阵的所有特征值λ均大于或等于零，当管网中至少有一节点的压力为已知固定值时，即在S=｛H‖hi-hj｜＞δ(δ＞0),H∈Rn｝内F(H)的Hesse阵为对称正定矩阵，F(H)是严格凸函数.可以看出当管网中所有节点压力不定时，有一个特征值等于0，F(H)不是严格凸函数，管网中各管段的水头损失是确定的，各节点水头依赖与某一参考点的水头.实际管网中可找到这样的常水头节点.
　　在S=｛H｜｜hi-hj｜＜δ(δ＞0),H∈Rn｝内定义F(H)和f(H)，其中f(H)=[α/2(α+1)]<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-8.jpg" align=middle border=0>s｜hi-hj｜1/α+1.
　　定理2：在S=｛H｜｜hi-hj｜＜δ(δ＞0),H∈Rn｝内F(H)和f(H)是严格凸函数.
　　证明：记H1=h1i-h1j=x1,H2=h2i-h2j=x2,令g(x)=[α/2(α+1)]<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-8.jpg" align=middle border=0>｜x｜1/α+1，取μ∈[0,1]，有
f(μH1+(1-μ)H2)=[α/2(α+1)]<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-8.jpg" align=middle border=0>｜μx1+(1-μ)x2｜1/α+1=g(μx1+(1-μ)x2)
　　(1)当x1·x2≥0,g″(x)≥0(g″(x→0)→+∞),g(μx1+(1-μ)x2)≤μg(xx) +(1-μ)g(x2),即f(μH1+(1-μ)H2)≤μf(H1)+(1-μ)f(H2).
　　(2)当x1·x2＜0,不妨设x1＜0,x2＞0,设｜x1｜＜｜x2｜则从x1到x2连线的斜率为k=(g2-g1)/(x2-x1)＞0,且连线上除点x1外的任一点都大于g1 .
　　(ⅰ)当x1＜μx1+(1-μ)x2≤0.因为在［x1,0］内g′(x)＜0,g(x)单调递减，所以g (μx1+(1-μ)x2)≤g1≤g1+(g2-g1)/(x2-x1)［(1-μ)(x2-x1 )］=μg1+(1-μ)g2.
　　(ⅱ)当0＜μx1+(1-μ)x2≤x2.设有g(μx1+(1-μ)x2)≥μg1+(1-μ)g2，则至少存在一点x*∈(0,x2］,曲线与连接(x1,g1)，(x2,g2)两点的直线相交可证得g′(x*)＞(g2-g1)/(x2-x1)(具体证明略).
　　又因为g″(x)＞0,g2＞g(x*)+g′(x*)(x2-x*)＞g(x*)+(g2-g1)/(x2-x1)(x2-x*)=g2,矛盾.同理可证得当｜x1｜＞｜x2｜亦有g(μx1+(1-μ)x2)≥μg1+(1-μ)g2.根据凸函数的定义，g(x)是严格凸函数.因为f(H)与g(x) 等价，故f(H)在S=｛H｜｜hi-hj｜＜δ(δ＞0),H∈Rn｝内也是严格凸函数.
　　由于严格凸函数的非负线性组合都是严格凸函数[2]，F(H)是f(H)与<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-9.jpg" align=middle border=0>Qihi的非负线性组合，故目标函数<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-10.jpg" align=middle border=0>.在S=｛H｜｜hi-hj｜＜δ(δ＞0),H∈Rn｝内是严格凸函数.
　　因而，当管网中至少有一个节点压力为常数，F(H)在R\+n上是严格凸函数，在闭区间S=｛H｜0＜hi＜h0,H∈Rn｝内(其中h0是管网最高水头)管网中只要有一个及一个以上节点的压力已知，管网存在唯一最优解，方程组(4)的解唯一.若管网中没有一节点压力为常数，对于单水源，那么各管段水头损失是确定的，各节点的水头依赖于某一参考点，对于多水源管网，方程的未知数比方程数多，管网水头的解是不确定的.
3 多水源管网的平差及其优化模型
　　水泵站的拟合曲线可以近似表示为h=h0-sqβ,有q=s-1/β(h0-h)1/β定义函数G(h)=2/(3s1/β)(h0-h)(1+β)/β,(h＜h0)，一般β=2 根据前文可知G(h)也是凸函数.对应每个水源可建立相应的虚节点，有恒定水头h0i，从虚节点到水泵站的摩阻为s,β=2，多水源的管网优化模型为
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="89%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1508.jpg"></TD>
<TD width="11%">
(7)</TD></TR></TABLE>
式中h0i——与第i个泵站相关联的虚节点的水头.p——水源数.
　　其中式中第一项n个节点中包括了水源节点，但在不包括与虚节点的关系式.相应原来的节点方程组(4)增加了水源数p个方程，可表示如下
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="81%">
<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1507.jpg"></TD>
<TD width="19%">
(8)</TD></TR></TABLE>
　　一旦各个水泵站的水泵选定，所有供水泵站及管网的运行状态就决定了，优化模型的最优解对应水源及管网各节点的水头.
4 算例
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD width="35%"><IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/1501.gif"> 图1 管网</TD>
<TD width="65%">
　　图1为一管网图，有两个水源，有恒定水头50m.管网共有18个节点，11个环，27根管道.所有管道长度均为1000m，哈曾-威廉公式参数C均为100.求解无约束目标函数的方法很多，如：最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等，它们各有优点.本文共采用六种方法进行计算：(1)牛顿法；(2)最速下降法；(3)变尺度最速下降法；(4)最速下降法与牛顿法交错计算；(5)变尺度最速下降法与牛顿法交错计算；(6)变尺度最速下降法与最速下降法交错计算.</TD></TR></TABLE>
　　在采用最速下降法时，下降方向就是计算节点流量与实际节点流量的差值的负值.对于管段数比较多的大型管网中目标函数变量数较多，再加上计算中含有指数运算，求解目标函数本身就很费时.因此在求步长时可近似采用tk=[(ΔQk)TΔQk]/[(ΔQk)THekΔQk][4],其中Hek是目标函数Hesse阵，进行变尺度最速下降法计算时，引入中间变量Xi，hi=λiXi，其中<IMG src="http://www.cws.net.cn/Journal/slxb/200007/images/15-11.jpg" align=middle border=0>(m等于与节点i相关节点的数量).求解本文中的目标函数的牛顿法与文献[5]中用牛顿法-拉斐逊解节点方程的方法完全相同.
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=8>表1</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=8>
<HR color=#000000>
</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">编号</TD>
<TD align=middle width="12%">节点流量/(m3/s)</TD>
<TD align=middle width="12%">初始水头/m</TD>
<TD align=middle width="12%">精确解/m</TD>
<TD align=middle width="12%">编号</TD>
<TD align=middle width="12%">节点流量/(m3/s)</TD>
<TD align=middle width="12%">初始水头/m</TD>
<TD align=middle width="12%">精确解/m</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=8>
<HR color=#000000 SIZE=1>
</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">1</TD>
<TD align=middle width="12%">-</TD>
<TD align=middle width="12%">50</TD>
<TD align=middle width="12%">50</TD>
<TD align=middle width="13%">10</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">30</TD>
<TD align=middle width="13%">29.919</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">2</TD>
<TD align=middle width="12%">-</TD>
<TD align=middle width="12%">50</TD>
<TD align=middle width="12%">50</TD>
<TD align=middle width="13%">11</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">28</TD>
<TD align=middle width="13%">17.683</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">3</TD>
<TD align=middle width="12%">0</TD>
<TD align=middle width="12%">40</TD>
<TD align=middle width="12%">46.804</TD>
<TD align=middle width="13%">12</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">27</TD>
<TD align=middle width="13%">16.048</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">4</TD>
<TD align=middle width="12%">0</TD>
<TD align=middle width="12%">31</TD>
<TD align=middle width="12%">46.807</TD>
<TD align=middle width="13%">13</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">26</TD>
<TD align=middle width="13%">26.489</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">5</TD>
<TD align=middle width="12%">0.02</TD>
<TD align=middle width="12%">28</TD>
<TD align=middle width="12%">43.545</TD>
<TD align=middle width="13%">14</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">25</TD>
<TD align=middle width="13%">17.614</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">6</TD>
<TD align=middle width="12%">0.02</TD>
<TD align=middle width="12%">26</TD>
<TD align=middle width="12%">38.686</TD>
<TD align=middle width="13%">15</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">24</TD>
<TD align=middle width="13%">17.844</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">7</TD>
<TD align=middle width="12%">0.02</TD>
<TD align=middle width="12%">24</TD>
<TD align=middle width="12%">36.192</TD>
<TD align=middle width="13%">16</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">23</TD>
<TD align=middle width="13%">30.196</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">8</TD>
<TD align=middle width="12%">0.02</TD>
<TD align=middle width="12%">23</TD>
<TD align=middle width="12%">36.512</TD>
<TD align=middle width="13%">17</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">22</TD>
<TD align=middle width="13%">29.815</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="12%">9</TD>
<TD align=middle width="12%">0.02</TD>
<TD align=middle width="12%">25</TD>
<TD align=middle width="12%">41.516</TD>
<TD align=middle width="13%">18</TD>
<TD align=middle width="13%">0.05</TD>
<TD align=middle width="13%">21</TD>
<TD align=middle width="13%">27.396</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=8>
<HR color=#000000>
</TD></TR></TABLE>
　　从表2可以看出方法1、方法4和方法6收敛性都比较好，方法4和方法6的计算量少于方法1. 采用最速下降法和变尺度的最速下降法无须解方程组，在第一、二次迭代时的收敛速度比较快，但随着迭代次数增加，速度逐渐下降，因此可通过尺度变换把长短轴相差很大的超椭球体变换成长短轴相差不是很大的超椭球体，从而提高最速下降法的迭代效率.在本例中由于管径范围变化较小，所有管道的管长相等，管道的摩阻相差在1～10倍，尺度变换的效果并不明显.在实际管网中管道的摩阻相差可达100倍以上，尺度变换的效果就能比较充分体现.
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>

<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=7>
表2</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=7>
<HR color=#000000>
</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">迭代次数</TD>
<TD align=middle width="14%">方法1</TD>
<TD align=middle width="14%">方法2</TD>
<TD align=middle width="14%">方法3</TD>
<TD align=middle width="14%">方法4</TD>
<TD align=middle width="15%">方法5</TD>
<TD align=middle width="15%">方法6</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=7>
<HR color=#000000 SIZE=1>
</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">0</TD>
<TD align=middle width="14%">28.7679</TD>
<TD align=middle width="14%">28.7679</TD>
<TD align=middle width="14%">28.7679</TD>
<TD align=middle width="14%">28.7679</TD>
<TD align=middle width="15%">28.7679</TD>
<TD align=middle width="15%">28.7379</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">1</TD>
<TD align=middle width="14%">24.2774</TD>
<TD align=middle width="14%">26.0211</TD>
<TD align=middle width="14%">25.9424</TD>
<TD align=middle width="14%">26.0211</TD>
<TD align=middle width="15%">25.9424</TD>
<TD align=middle width="15%">25.9424</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">2</TD>
<TD align=middle width="14%">22.9984</TD>
<TD align=middle width="14%">25.0378</TD>
<TD align=middle width="14%">25.1621</TD>
<TD align=middle width="14%">22.8674</TD>
<TD align=middle width="15%">22.7593</TD>
<TD align=middle width="15%">24.9014</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">3</TD>
<TD align=middle width="14%">22.4574</TD>
<TD align=middle width="14%">24.4133</TD>
<TD align=middle width="14%">24.6197</TD>
<TD align=middle width="14%">22.7041</TD>
<TD align=middle width="15%">22.6756</TD>
<TD align=middle width="15%">24.5377</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">4</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3780</TD>
<TD align=middle width="14%">24.1700</TD>
<TD align=middle width="14%">24.2698</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3987</TD>
<TD align=middle width="15%">22.3913</TD>
<TD align=middle width="15%">23.8721</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">5</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3504</TD>
<TD align=middle width="14%">23.8067</TD>
<TD align=middle width="14%">23.9013</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3829</TD>
<TD align=middle width="15%">22.3841</TD>
<TD align=middle width="15%">23.7608</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">6</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3504</TD>
<TD align=middle width="14%">23.6488</TD>
<TD align=middle width="14%">23.7050</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3387</TD>
<TD align=middle width="15%">22.3421</TD>
<TD align=middle width="15%">23.4504</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">7</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3429</TD>
<TD align=middle width="14%">23.6231</TD>
<TD align=middle width="14%">23.5518</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3380</TD>
<TD align=middle width="15%">22.3413</TD>
<TD align=middle width="15%">23.3910</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="14%">8</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3407</TD>
<TD align=middle width="14%">23.1745</TD>
<TD align=middle width="14%">23.4082</TD>
<TD align=middle width="14%">22.3379</TD>
<TD align=middle width="15%">22.3384</TD>
<TD align=middle width="15%">23.1226</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=7>
<HR color=#000000>
</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width="100%" colSpan=7>
注：目标函数的极小值等于22.3377.</TD></TR></TABLE>
　　目前的计算中多使用牛顿法-拉斐逊法，对于一个大型管网，在使用牛顿法时每次都要计算Hesse矩阵，而且需求解高阶的线性方程组，计算量比较大.而且效果不错，但目前还没有证明其对管网方程在整个定义域中一定收敛，因此离极小点不能太远，否则迭代可能发散[4]. 而最速下降法在迭代的最初几步下降速度较快，而且计算量的复杂度与计算所有节点的节点流量相当，建议用变尺度最速下降法和牛顿法混合使用来提高计算效率.
5 结论
　　本文把管网恒定流水力计算转化为无约束优化问题，给出了目标函数并证明解的唯一性.利用优化理论可以提出大量的求解给水管网恒定流方程的方法，而一般常用的牛顿法-拉斐逊求解节点压力方程的节点法只是求解该寻优函数的一种特例.本文还提出了建立虚节点求解多水源的管网计算方法，能够确定各水源的供水量及供水的水头.根据文中提出的无约束优化模型，笔者编程进行计算、比较，认为最速下降法或变尺度最速下降法和牛顿法混合使用求解管网恒定流方程是一种比较有效的方法.
参考文献
[1] 刘德有，索丽生.复杂给水管网恒定流计算新方法--特征线法[J].中国给水排水，1994，10(3).
[2] 汪树玉，杨德铨，刘国华，张科锋.优化原理、方法与工程应用[M].杭州：浙江大学出版社，1991.
[3] 杨钦，严煦世.给水工程(上)(第二版)[M].北京：中国建筑出版社，1987.
[4] 蔡大用，白峰杉，高等数值分析[M].北京：清华大学出版社，19 97.
[5] 严煦世，赵洪宾.给水管网理论与计算[M].北京：中国建筑工业出版社，1986.
[6] 李子富，王晏平.多水源管网水力计算的新方法[J].给水排水，1994(5).

喜欢0 评分0

GIS麦田守望者，期待与您交流。

举报回复

发帖回复

« 返回列表

您需要登录后才可以回帖，登录或者注册

返回顶部

管网恒定流水力计算的最优化方法

最新喜欢：